Question

已知函数f（x）=（k²+1）x²-2kx-（k-1）²（k∈R），x₁，x₂是f（x）的两个零点，且x₁＞x₂．
（1）①求证：x₁=1；②求x₂的取值范围；
（2）记g（k）为函数f（x）的最小值，当x₂∈[-2，-1]时，求g（k）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）①令f（x）=0即可解出两个零点，从而可证：x₁=1；②由①得x₂=

-k2+2k-1

k2+1

，可化为（1+x₂）k²-2k+x₂+1=0．因为k∈R，且此关于k的方程必有解，讨论可得x₂的取值范围为[-2，0]．
（2）由x₂∈[-2，-1]，得-2≤

-k2+2k-1

k2+1

≤-1，得k≤0．g（k）=

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

=-[（k²-2k+1）+

k2

k2+1

]．g（k）在区间（-∞，0]上是增函数，所以当k=0时，g（k）取到最大值g（0）=-1．故当x₂∈[-2，-1]时，g（k）的最大值为-1．

解答： 解：（1）①证明：由f（x）=0得（k²+1）x²-2kx-（k-1）²=0
即[（k²+1）x+（k-1）²]•（x-1）=0
所以函数f（x）的两个零点为1和-

(k-1)2

k2+1

．
又-

(k-1)2

k2+1

＜0，所以x₁=1；x₂=-

(k-1)2

k2+1

．
所以x₁=1成立．
②由①得x₂=-

(k-1)2

k2+1

=

-k2+2k-1

k2+1

，
可化为（1+x₂）k²-2k+x₂+1=0．
因为k∈R，且此关于k的方程必有解，
所以当x₂=-1，此时k=0；
当x₂≠-1，此方程的△=4-4(x2+1)2≥0，解得-2≤x₂≤0，
则-2≤x₂≤0且x₂≠-1．
综上，x₂的取值范围为[-2，0]．
（2）由x₂∈[-2，-1]，得-2≤

-k2+2k-1

k2+1

≤-1，得k≤0．
又函数f（x）的最小值为

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

，
即g（k）=

-4(k2+1)(k2-2k+1)-4k2

4(k2+1)

=-[（k²-2k+1）+

k2

k2+1

]．
下面证明g（k）在区间（-∞，0]上是增函数，
对任意的k₁＜k₂≤0，
都有g（k₁）-g（k₂）=-[（k12-2k₁+1）+

k12

k12+1

]+[（k22-2k₂+1）+

k22

k22+1

]
=（k₂-k₁）[（k₂+k₁）-2+

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

]，
因为k₁＜k₂≤0，所以k₂-k₁＞0，k₂+k₁＜0，

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

＜0，
所以（k₂-k₁）[（k₂+k₁）-2+

k1+k2

(k12+1)(k22+1)

]＜0，
即g（k₁）-g（k₂）＜0，所以g（k）在区间（-∞，0]上是增函数．
所以当k=0时，g（k）取到最大值g（0）=-1．
当x₂∈[-2，-1]时，g（k）的最大值为-1．

点评：本题主要考察了二次函数的性质及应用，考察了函数单调性质的证明，考察了计算能力，属于中档题．