Question

已知等差数列{a_n}中，a₂=4，a₃+a₄=14，b_n=3 an．
（1）证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列性质求出a₁=2，d=2，从而a_n=2n，bn=3an=3²ⁿ=9ⁿ，由此能证明{b_n}为首项为9公比为9的等比数列．
（2）由nb_n=n•b_n=n•9ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{nb_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵等差数列{a_n}中，a₂=4，a₃+a₄=14，
∴

a1+d=4 2a1+5d=14

，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
∴bn=3an=3²ⁿ=9ⁿ，
∴{b_n}为首项为9公比为9的等比数列．
（2）解：∵nb_n=n•b_n=n•9ⁿ，
∴S_n=9+2•9²+3•9³+…+n•9ⁿ，①
9S_n=9²+2•9³+3•9⁴+…+n•9ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-8S_n=9+9²+9³+…+9ⁿ-n•9ⁿ⁺¹
=

9(1-9n)

1-9

-n•9ⁿ⁺¹
=-

9

8

(1-9n)-n•9n+1，
∴S_n=

9

64

(1-9n)+

n•9n+1

8

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．