题目内容

为了寻找马航MH370残骸，我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，OA=300
13
海里，且tanα=
1
3
，cosβ=
2
13
．现指挥部需要紧急征调位于港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供给科考船．该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？
考点：解三角形的实际应用
专题：应用题,解三角形
分析：先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基配方法求出最小值．
解答： 解：（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）
则直线OZ的方程为y=3x，
设点A（x0，y0），则x0=300
13
sinβ=900，y0=300
13
cosβ=600，
∴A（3a，2a），即A（900，600），…（3分）
又B（m，0），则直线AB的方程为：y=
600
900-m
（x-m），…（4分）
由此得到C点坐标为：（
200m
m-700
，
600m
m-700
），…（6分）
∴S（m）=S△OBC=
1
2
|OB||yc|=
300m2
m-700
（m＞700）． …（8分）
（2）由（1）知S（m）=
300m2
m-700
=
300
-
700
m2
+
1
m
=
300
-700(
1
m
-
1
1400
)2+
1
2800
…（10分）
∴当
1
m
=
1
1400
，即m=1400时，S（m）最小，
∴征调m=1400海里处的船只时，补给方案最优．…（14分）
点评：本题考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、配方法的应用，解题的关键是函数的建模思想和转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知两直线y=4x-2和y=3m-x的交点在第三象限，则m的取值范围是
 
．
为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：
新能源汽车补贴标准
车辆类型 续驶里程R（公里）
80≤R＜150 150≤R＜250 R≥250
纯电动乘用车 3.5万元/辆 5万元/辆 6万元/辆
某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：
分组 频数 频率
80≤R＜150 2 0.2
150≤R＜250 5 x
R≥250 y z
合计 M 1
（Ⅰ）求x，y，z，M的值；
（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；
（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．
如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2-x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；
（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（
6
2
，
1
2
）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，直线OM、ON的斜率存在且和为4k，求证：m2为定值．
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？
 甲班（A方式）乙班（B方式）总计
成绩优秀   
成绩不优秀   
总计   
已知tanθ和cotθ是方程x2+kx+1=0的两个根，当|k|≥2时，求tan4θ-cot4θ的值．
设数列{an}，{bn}，{cn}，已知a1=4，b1=3，c1=5，an+1=an，bn+1=
an+cn
2
，cn+1=
an+bn
2
（n∈N*）．
（1）求数列{cn-bn}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N*，bn+cn为定值；
（3）设Sn为数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（Sn-4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．
在直角坐标系xOy中，射线OA、OB关于x轴对称，且∠AOB=60°，在射线OA、OB上分别有动点P、Q满足：S△POQ=9，设△POQ的重心为G．
（1）求G点的轨迹方程；
（2）点G到直线PQ距离的最大值是多少？

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