题目内容

如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2-x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．
（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；
（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）直线l：y=kx+b代入抛物线x2=2py，求出D的坐标，设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；
（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；
（3）分别求出a1=S△ABC=
h3
16p
，a2=S△ACE+S△BCF=
1
4
•
h3
16p
，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．
解答： 解：（1）由直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py，
得x2-2pkx-2pb=0，
∴x1+x2=2pk，x1x2=-2pb
∴点D（pk，pk2+b）…（2分）
设切线方程为y=kx+m，
代入抛物线方程可得x2-2pkx-2pm=0，
得△=4p2k2+8pm=0，
m=
pk2
2
，切点的横坐标为pk，得C（pk，
pk2
2
）…（4分）
由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（6分）
（2）∵h2=|x2-x1|2=4p2k2+8pb，∴b=
h2-4p2k2
8p
．…（8分）
∴S△ABC=
1
2
|CD||x2-x1|=
h3
16p
．…（11分）
∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（12分）
（3）由（1）知CD垂直于x轴，|xC-xA|=|xB-xC|=
h
2
，
由（2）可得△ACE、△BCF的面积只与
h
2
有关，将S△ABC=
h3
16p
中的h换成
h
2
，
可得S△ACE=S△BCF=
1
8
•
h3
16p
．…（14分）
记a1=S△ABC=
h3
16p
，a2=S△ACE+S△BCF=
1
4
•
h3
16p
，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{an}的无穷项和，此数列公比为
1
4
，
∴封闭图形的面积S=
a1
1-
1
4
=
4
3
a1=
h3
12p
…（18分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知x﹑y∈R+，且2x+y=3，则
1
2x+1
+
1
y+2
的最小值为
 
．
已知复数z=
i2
1+i
（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限
设椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率为
3
2
，过点Q（1，0）任作一条弦交椭圆于C、D两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
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新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”．到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”．政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：
组数分组频数频率光盘族占本组比例
第1组[25，30）500.0530%
第2组[30，35）1000.1030%
第3组[35，40）1500.1540%
第4组[40，45）2000.2050%
第5组[45，50）ab65%
第6组[50，55）2000.2060%
（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55）岁的人群中“光盘族”所占比例；
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（i）已知选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段在[40，45）中的概率；
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某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则每台销售利润为0元；若1＜T≤3，则每台销售利润为100元；若T＞3，则每台销售利润为200元．设每台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程10x2-6x+a=0的两个根，且P2=P3．
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为了寻找马航MH370残骸，我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，OA=300
13
海里，且tanα=
1
3
，cosβ=
2
13
．现指挥部需要紧急征调位于港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供给科考船．该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优．
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某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
a1=10 a2=9.5 a3=
 
   		 a4=
 
     		 …
b1=2 b2=
 
 b3=
 
      		 b4=
 
       		 …
（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
寿命（天） 频数 频率
[100，200） 20 0.10
[200，300） 30 a
[300，400） 70 0.35
[400，500） b 0.15
[500，600） 50 0.25
合计 200 1
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．

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