Question

设数列{a_n}，{b_n}，{c_n}，已知a₁=4，b₁=3，c₁=5，a_n+1=a_n，b_n+1=

an+cn

2

，c_n+1=

an+bn

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N^*，b_n+c_n为定值；
（3）设S_n为数列{c_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N^*，b_n+c_n为定值；
（3）设S_n为数列{c_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，建立条件关系即可求实数p的取值范围．

解答： 解：（1）因为a_n+1=a_n，a₁=4，所以a_n=4，
所以b_n+1=

an+cn

2

=

4+cn

2

=

cn

2

+2，c_n+1=

an+bn

2

=

bn

2

+2，
c_n+1-b_n+1=

1

2

(bn-cn)=-

1

2

(cn-bn)，
即数列{c_n-b_n}是首项为2，公比为-

1

2

的等比数列，
所以c_n-b_n=2•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n+1+c_n+1=

1

2

(bn+cn)+4，
因为b₁+c₁=8，所以b₂+c₂=8，b₃+c₃=8，
猜测：b_n+c_n=8，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，b₁+c₁=8，结论成立；   
②假设当n=k时结论成立，即b_k+c_k=8，那么当n=k+1时，
b_k+1+c_k+1=

1

2

（b_k+c_k）+4=8，即n=k+1时结论也成立． 
由①，②得，当n∈N^•时，b_n+c_n=8恒成立，即b_n+c_n恒为定值．
（3）由（1）、（2）知

bn+cn=8 cn-bn=2(- 1 2 )n-1

，
所以cn=4+2?(-

1

2

)n-1，
所以Sn=4n+

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
所以p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，
由p（S_n-4n）∈[1，3]得1≤

2p

3

[1-(-

1

2

)n]≤3，
因为1-（-

1

2

）ⁿ＞0，
所以

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
当n为奇数时，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1+( 1 2 )n

随n的增大而递增，且0＜

1

1-(- 1 2 )n

＜1，
当n为偶数时，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1-( 1 2 )n

随n的增大而递减，且0

1

1-(- 1 2 )n

＞1，
所以，

1

1-(- 1 2 )n

的最大值为

4

3

，

3

1-(- 1 2 )n

的最小值为2．  
由

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，得

4

3

≤

2p

3

≤2，
解得2≤p≤3，
所以，所求实p的取值范围是[2，3]．

点评：本题主要考查数列的应用，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．