Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（

6

2

，

1

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，直线OM、ON的斜率存在且和为4k，求证：m²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件求出c=1，点P(

6

2

，

1

2

)代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出b=1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（II）由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韦达定理结合直线OM、ON的斜率存在且和为4k，得到kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k．由此能求出m2=

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），∴c=1，…（1分）
点P(

6

2

，

1

2

)代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得4b⁴-3b²-1=0，即b=1，…（3分）
∴a²=b²+c²=2，…（4分）
∴椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1．                         …（5分）
（II）证明：由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．．…（7分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

．…（8分）
∵直线OM、ON的斜率存在且和为4k，
∴k_OM+k_ON=

y1

x1

+

y2

x2

=k+

m

x1

+k+

m

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

=2k+

- 4km2 1+2k2

2m2-2 1+2k2

=4k．…（10分）
整理得kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k．…（11分）
解得m2=

1

2

，为定值．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想和等价转化思想的合理运用．