Question

已知数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）记T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）当n=1时，a₁=S₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
又n=1适合上式，
∴an=2n+1，n∈N*．
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

1

6

-

1

4n+6

．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．