Question

对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，由数列发生器产生的数列记为{x_n}．
（1）若定义函数f（x）=

2x-1

x+1

，且输入x₀=2，求输出的数列{x_n}的所有项；
（2）若定义函数f（x）=x+3，且输入x₀=-1，设S_n是数列{x_n}的前n项和，对于给定的n，请你给出一个D，并求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,程序框图

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用x_n+1=f（x_n）=x_n+3，代入计算即可得出；
（2）由图可得x_n+1=f（x_n）=x_n+3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
把x₀=2代入可得x₁=1；
把x₁=1代入可得x2=

1

2

；
把得x2=

1

2

代入可得x₃=0；
把x₃=0代入可得x₄=-1，
∵x₄=-1∉D，
∴数列{x_n}只有四项：x₁=1，x2=

1

2

，x₃=0，x₄=-1．
（2）f（x）=x+3的定义域为R，∵x₀=-1，∴x₁=2，
由图可得x_n+1=f（x_n）=x_n+3，
∴x_n+1-x_n=3，
∴数列{x_n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴x_n=2+3（n-1）=3n-1，
即数列{x_n}的通项公式x_n=3n-1，
∴D（-∞，3n-4]．
数列{x_n}的前n项和S_n=

n(3n-1)

2

=

3n2+n

2

．

点评：本题考查了算法程序、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．