Question

已知θ∈R时，不等式m²-（1+4sin²θ）m+4-6cos²θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≥4或m≤1
• B、m≥4或m≤-1
• C、m≥2或m≤1
• D、m≥2或m≤-1

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把给出的不等式左边化余弦为正弦，整理为关于sin²θ的一次不等式，然后由θ∈R时，不等式m²-（1+4sin²θ）m+4-6cos²θ≥0恒成立得不等式组

m2-m-2≥0 6-4m+m2-m-2≥0

，求解不等式组得答案．

解答： 解：由m²-（1+4sin²θ）m+4-6cos²θ≥0，得
m²-m-4msin²θ+4-6（1-sin²θ）≥0，
即（6-4m）sin²θ+（m²-m-2）≥0，
要使θ∈R时，不等式m²-（1+4sin²θ）m+4-6cos²θ≥0恒成立，
上式看作关于sin²θ的一次不等式，
则

m2-m-2≥0 6-4m+m2-m-2≥0

，
即

m2-m-2≥0 m2-5m+4≥0

，
解得：m≥4或m≤-1．
故选：B．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，更换主元是解答该题的关键，是中档题．