Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时；0＜f（x）＜2；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，(x-

π

2

)f′(x)＞0，则函数y=f（x）-|tanx|在区间[-2π，2π]上的零点个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：根据导数研究函数的单调性，利用函数的奇偶性和周期性，作出两个函数的图象，即可判断函数零点的个数．

解答： 解：∵当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，(x-

π

2

)f′(x)＞0，
∴当

π

2

＜x＜π时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当0＜x＜

π

2

时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
由y=f（x）-|tanx|=0得f（x）=|tanx|，
∵f（x）是最小正周期为2π的偶函数，
∴作出函数y=f（x）和y=|tanx|在区间[-2π，2π]上的图象如图：
则两个函数图象有8个交点，
即函数数y=f（x）-|tanx|在区间[-2π，2π]上的零点个数为8个，
故选：D．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数的奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．