Question

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0
（1）设动点P满足(

PF

+

PB

)(

PF

-

PB

)=13，求点P的轨迹方程；
（2）设x₁=2，x2=

1

3

，求点T的坐标；
（3）若点T在点P的轨迹上运动，问直线MN是否经过x轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用椭圆的标准方程可得F，B，再利用数量积运算即可得出；
（2）由x₁=2，x2=

1

3

，代入椭圆的方程可得y₁，y₂，进而得到直线TM、TN的方程，联立即可得出交点T的坐标；
（3）假设直线MN过定点，由T在点P的轨迹上，可得T（9，m），分别得出直线AT、BT的方程，与椭圆的方程联立可得点M，N的坐标，得出直线MN的方程即可．

解答： 解：（1）由椭圆

x2

9

+

y2

5

=1可得：a²=9，b²=5，c=

9-5

=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
设P（x，y），则

PF

=（2-x，-y），

PB

=（3-x，-y）．
∵满足(

PF

+

PB

)•(

PF

-

PB

)=13，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化简得x=9，
故P的轨迹方程为x=9
（2）由x1=2，

x 2 1

9

+

y 2 1

5

=1及y₁＞0得y1=

5

3

，则点M(2，

5

3

)，
从而直线AM的方程为y=

1

3

x+1；
同理可以求得直线BN的方程为y=

5

6

x-

5

2

联立两方程可解得x=7，y=

10

3

∴点T的坐标为(7，

10

3

)．
（3）假设直线MN过定点，由T在点P的轨迹上，T（9，m）
直线AT的方程为y=

m

12

(x+3)，直线BT的方程为y=

m

6

(x-3)
点M（x₁，y₁）满足

y1= m 12 (x1+3) x 2 1 9 + y 2 1 5 =1

得

(x1-3)(x1+3)

9

=-

m2

122

•

(x1+3)2

5

，
又x₁≠3，解得x1=

240-3m2

80+m2

，从而得y1=

40m

80+m2

．
同理：x₂=

3m2-60

m2+20

，y₂=

-20m

m2+20

．
∴直线MN的方程：y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

(x-

3m2-60

m2+20

)，

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得出方程组、数量积运算、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于难题．