Question

已知二次函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a（a，b∈R，a≠0）
（1）当a=b时，f（x）在[

a

2

，a]上有最小值

3a

4

，求实数a的值；
（2）若f（x）-2在区间[1，2]上至少有一个零点，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由给定区间可判断a的符号，进而分析出函数在区间[

a

2

，a]上的单调性，结合已知中函数的最小值，可求出满足条件的a值．
（2）令ax²+（2b+1）x-a-2=（x²-1）a+2xb+x-2=0，并将其看成为平面直角坐标系a-O-b中的一条直线，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，构造关于a，b，x的不等式，结合对勾函数的单调性，可得a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）∵区间[

a

2

，a]中

a

2

＜a，故a＞0，
当a=b时，f（x）=ax²+（2a+1）x-a的图象开口向上，对称轴为直线x=-

2a+1

2a

，
∵-

2a+1

2a

＜0＜

a

2

＜a，
故f（x）在[

a

2

，a]上为增函数，
当x=

a

2

时，函数有最小值

3a

4

，
即f（

a

2

）=

a3

4

+a2-

a

2

=

3a

4

，
即a（a+5）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（2）令ax²+（2b+1）x-a=（x²-1）a+2xb+x=0，将其看成为平面直角坐标系a-O-b中的一条直线，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

=

|x-2|

(x2+1)2

=

|x-2|

|x2+1|

，
令g（x）=

|x-2|

|x2+1|

=|

1

(x-2)+ 5 x-2 +4

|，
则

a2+b2

≥g（x）_max，
∵y=x-2+

5

x-2

在x∈[1，2）是减函数，
故g（x）=

|x-2|

|x2+1|

=|

1

(x-2)+ 5 x-2 +4

|≤g（1）=

1

2

，
故a²+b²的最小值为

1

4

．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，两点之间距离公式，点到直线的距离公式，是函数与解析几何的综合应用，难度较大．