Question

在△ABC中，B（-

5

，0）、C（

5

，0），AB、AC边上的中线长之和为9．
（Ⅰ）求△ABC重心G的轨迹方程
（Ⅱ）设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos∠BPC的最小值．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．
（Ⅱ）由题意，P为椭圆短轴顶点时，∠BPC最大，cos∠BPC最小．

解答： 解：（Ⅰ）设AC、AB边上的中线分别为CD、BE
∵BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=6（定值）
因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=6，c=

5

∴a=3，b=2，可得椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1
∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC
∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1=1（y≠0）；
（Ⅱ）由题意，P为椭圆短轴顶点时，∠BPC最大，cos∠BPC最小．
∴cos∠BPC=

32+32-(2 5 )2

2×3×3

=-

1

9

点评：本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．