Question

已知定义域为R的偶函数f（x）满足对于任意实数x，都有f（1+x）=f（1-x），且当0≤x≤1时，f（x）=3^x+1．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：把x+2拆成1+（x+1），代入f（1+x）=f（1-x），再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）推导周期．
（2）利用第（1）问中函数的周期及奇偶性过度到已知区间上函数的表达式求解函数的解析式．

解答： 解：（1）对任意实数x都有
f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1-（1+x）]=f（-x），
由于f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数．
（2）当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]
则f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1=3^3-x，
当x∈[2，3]时，x-2∈[0，1]
则f（x）=f（x-2）=3^x-2+1=3^x-1，
综上，f（x）=

33-x，x∈[1，2] 3x-1，x∈[2，3]

点评：本题主要考查函数的周期性、奇偶性，求函数的解析式，体现了分类讨论和转化的数学而思想，属于中档题．