Question

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限，圆C与x相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

．
（1）求圆C的方程；
（2）若P（x，y）是圆C上的点，满足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,直线和圆的方程的应用

专题：

分析：（1）由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（2）由题知，m≥（

3

x+y）_max．利用圆的参数方程，结合辅助角公式化简，即可得出结论．

解答： 解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 (

7

)2=r²-d²，
∴9t²-2t²=7，
∴t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
∴圆心在第一象限的圆是（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）由题知，m≥（

3

x+y）_max．
设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ，
则

3

x+y=

3

（1+3cosθ）+（3+3sinθ）=6sin（θ+

π

3

）+3+

3

∴6sin（θ+

π

3

）=1时，（

3

x+y）_max=9+

3

∴m≥9+

3

．

点评：本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式，考查圆的参数方程．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．