Question

已知关于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，π）．求：
（1）m的值；
（2）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由sinθ，cosθ是方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两个根，根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易得：sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

，结合同角三角函数平方关系，根据一个关于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）切化弦，代入计算可得结论；
（3）由（1）知，sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

3

4

，可得sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

或sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

，从而可求θ的值．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两个根，
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

则（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ=1-m=

2+ 3

2

∴m=-

3

2

；
（2）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

；
（3）由（1）知，sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

3

4

∴sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

或sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

，
∵θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

或

π

6

．

点评：本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．