Question

9．已知偶函数f（x）满足f（x）=3^x-3（x≥0），则不等式xf（x）＜0的解集为（0，1）∪（-∞，-1）．

Answer 1

分析 先确定函数在（-∞，0）上是的解析式，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式．

解答 解：设x＜0，
则-x＞0，
∴f（-x）=3^-x-3，
∵函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）=3^-x-3，
∵xf（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{3}^{x}-3＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{3}^{-x}-3＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1或x＜-1，
故不等式xf（x）＜0的解集为（0，1）∪（-∞，-1）
故答案为：（0，1）∪（-∞，-1）．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．