Question

20．已知函数f（x）=cos（$\frac{2π}{3}$x）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$x）+a，g（x）=3^x-x，若f（g（x））≤0对任意的x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{3}$-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． （-∞，1-$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 利用导数求出函数g（x）的单调区间，得到函数在[0，1]上的值域，令t=g（x），则t∈[1，2]，把问题转化为f（t）≤0对任意t∈[1，2]恒成立，即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0对任意t∈[1，2]恒成立，分离参数a，得a≤$\frac{sin\frac{π}{3}t-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{π}{3}t}$=2sin$\frac{π}{3}t$-1，由三角函数的性质求出h（t）=2sin$\frac{π}{3}t$-1，t∈[1，2]的最小值得答案．

解答 解：g（x）=3^x-x，x∈[0，1]，g′（x）=3^xln3-1在[0，1]上为增函数，
则g′（x）≥g′（0）=ln3-1＞0，
则函数g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，2]，
令t=g（x），则t∈[1，2]，
∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，
∴f（t）≤0对任意t∈[1，2]恒成立，即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0对任意t∈[1，2]恒成立，
分离参数a，得a≤$\frac{sin\frac{π}{3}t-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{π}{3}t}$=2sin$\frac{π}{3}t$-1，
令h（t）=2sin$\frac{π}{3}t$-1，t∈[1，2]，
则h（t）_min=2sin$\frac{π}{3}$-1=$\sqrt{3}$-1，
∴a$≤\sqrt{3}-1$，
则实数a的取值范围是（-∞，$\sqrt{3}$-1]，
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．