Question

18．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C₁上点M处的切线与圆C₂：x²+y²=1相切于点Q．
（Ⅰ）当直线MQ的方程为$x-y-\sqrt{2}=0$时，求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S₁，S₂分别为△FMQ，△FOQ的面积，求$\frac{S_1}{S_2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，根据导数的几何意义，求得$\frac{x_0}{p}=1$且${x_0}-\frac{x_0^2}{2p}-\sqrt{2}=0$，即可求得p的值，求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求得切线方程，利用点到直线的距离公式可知$x_0^4=4x_0^2+4{p^2}$，将切线方程代入椭圆方程，求得丨PQ丨，分别表示出S₁，S₂，根据基本不等式的性质，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设点$M（{x_0}，\frac{x_0^2}{2p}）$，由x²=2py（p＞0）得，$y=\frac{x^2}{2p}$，求导$y'=\frac{x}{p}$，
而直线MQ的斜率为1，
∴$\frac{x_0}{p}=1$且${x_0}-\frac{x_0^2}{2p}-\sqrt{2}=0$，
解得：$p=2\sqrt{2}$．
∴抛物线的标准方程：x²=4$\sqrt{2}$y；…（4分）
（Ⅱ）因为点M处的切线方程为：$y-\frac{x_0^2}{2p}=\frac{x_0}{p}（x-{x_0}）$，即$2{x_0}x-2py-x_0^2=0$，
根据切线又与圆相切，得d=r，即$\frac{{|{-x_0^2}|}}{{\sqrt{4x_0^2+4{p^2}}}}=1$，化简得$x_0^4=4x_0^2+4{p^2}$，
4p²=x₀⁴-4x₀²＞0，解得：丨x₀丨＞2，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{0}x-2py-{x}_{0}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：Q（$\frac{2}{{x}_{0}}$，$\frac{4-{x}_{0}^{2}}{2p}$），
由丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x_P-x_Q丨=$\sqrt{1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{p}^{2}}}$丨x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$丨=$\frac{丨{x}_{0}丨}{2p}$（x₀²-2），
点F（0，$\frac{p}{2}$）到切线PQ的距离d=$\frac{丨-{p}^{2}-{x}_{0}^{2}丨}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+4{p}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
则S₁=$\frac{1}{2}$丨PQ丨•d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}丨}{16p}$（x₀²-2），S₁=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨x_Q丨=$\frac{p}{2丨{x}_{0}丨}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}（{x}_{0}^{2}-2）}{8{p}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{4}（{x}_{0}^{2}-2）}{2（{x}_{0}^{4}-4{x}_{0}^{2}）}$=$\frac{{x}_{0}^{2}（{x}_{0}^{2}-2）}{2（{x}_{0}^{2}-4）}$=$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{2}$+$\frac{4}{{x}_{0}^{2}-4}$+3≥2$\sqrt{2}$+3，
当且仅当$\frac{{x}_{0}^{2}-4}{2}$=$\frac{4}{{x}_{0}^{2}-4}$时，取“=”号，即x₀²=4+2$\sqrt{2}$，此时p=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
所以$\frac{S_1}{S_2}$的最小值为$3+2\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，抛物线切线方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．