Question

14．在区间[-2，4]上随机地取一个数x，使${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先根据基本不等式得到|x|≤1．再解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[-2，4]的长度求比值即得．

解答 解：a²+$\frac{1}{{a}^{2}+1}$=a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}+1}$-1≥2$\sqrt{（{a}^{2}+1）•\frac{1}{{a}^{2}+1}}$-1=2-1=1，当且仅当a=0时取等号，
∵${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立，
∴|x|≤1，
解得-1≤x≤1，
故在区间[-2，4]上随机地取一个数x，使${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立的概率是$\frac{1+1}{4+2}$=$\frac{1}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．