Question

1．对于函数f（x），若存在一个区间A=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称A为f（x）的一个稳定区间，相应的函数f（x）为“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①f（x）=tan$\frac{π}{4}$x；②f（x）=1-x²；③f（x）=e^x-1；④f（x）=ln（x-1），所有“局部稳定函数”的序号是①②．

Answer 1

分析 根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答 解：①对于函数f（x）=tan$\frac{π}{4}$x存在“稳定区间”[a，b]，
如 x∈[0，1]时，f（x）=tan$\frac{π}{4}$x∈[0，1]，
故①是“局部稳定函数”，
②对于函数f（x）=1-x²若存在“稳定区间”[a，b]，
如 x∈[0，1]时，f（x）=1-x²∈[0，1]，
故②是“局部稳定函数”，
③对于f（x）=e^x-1，若存在“稳定区间”[a，b]，
由于函数是定义域内的增函数，故有e^a-1=a，且e^b-1=b，即方程e^x-1=x 有两个解，
即y=e^x-1和 y=x的图象有两个交点，
这与y=e^x-1和 y=x的图象有且只有一个公共点相矛盾，
故③不是“局部稳定函数”，
④对于 f（x）=ln（x-1），若存在“稳定区间”[a，b]，
由于函数是定义域内的增函数，故有ln（a-1）=a，且ln（b-1）=b，即方程ln（x-1）=x 有两个解，
即y=ln（x-1）和 y=x的图象有两个交点，
这与y=ln（x-1）和 y=x的图象没有公共点相矛盾，
故④不是“局部稳定函数”，
故答案为：①②

点评 本题以新定义局部稳定函数为载体，考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题