Question

19．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，则sin（α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式可求sin（α-$\frac{π}{3}$），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α-$\frac{π}{3}$）的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin（α-$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（α-$\frac{π}{3}$）+cos（α-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．