Question

4．若二次函数f（x）=m²x²+nx+2的图象与x轴有交点，则双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$（m＞0，n＞0）离心率e的取值范围为（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． $（1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}]$
• D． $[\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 由二次函数f（x）=m²x²+nx+2的图象与x轴有交点，可得判别式不小于0，再由双曲线的离心率公式，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：二次函数f（x）=m²x²+nx+2的图象与x轴有交点，
可得△=n²-8m²≥0，
由m＞0，n＞0，可得n≥2$\sqrt{2}$m，
双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$（m＞0，n＞0）的离心率为：
e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=$\sqrt{1+（\frac{n}{m}）^{2}}$≥$\sqrt{1+8}$=3，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，同时考查二次函数与x轴有交点的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．