Question

17．已知x，y满足：$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是1．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类可知，若a≤0，则-a≥0，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为（0，2），不合题意；若a＞0，则-a＜0，要使目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则直线y=-ax+z与直线x+y=2重合，由此求得a值．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

化目标函数z=ax+y为y=-ax+z，
若a≤0，则-a≥0，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为（0，2），不合题意；
若a＞0，则-a＜0，要使目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则直线y=-ax+z与直线x+y=2重合，
此时a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．