Question

11．已知数列{a_n}是首项为正数的等差数列，a₁•a₂=3，a₂•a₃=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由a₁•a₂=3，a₂•a₃=5，解得a₁=1，d=2，即可得a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-4=n•4ⁿ，利用错位相减法求和即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
因为a₁•a₂=3，a₂•a₃=5．
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-1=n•4ⁿ，
   T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ．
4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减，得-3T_n=4¹+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}×{4}^{n-1}-\frac{4}{3}$，
所以T_n=$\frac{4+（3n-1）•{4}^{n+1}}{9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项，考查了错位相减法求和，属于中档题．