Question

19．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，EF分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）证明：AB∥平面DEF；
（2）在线段BC上是否存在点P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此证明AB∥平面DEF；
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法找出在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．

解答 解：（1）证明：如图（2），在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF；
（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图（3）所示； 

则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
E（0，$\sqrt{3}$，1），F（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{DF}$=（1，$\sqrt{3}$，0）；
设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2），
由AP⊥DE得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$λ+1×（-2）=0，解得λ=$\frac{1}{3}$，
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了直线与平面平行的证明与满足条件的点是否存在的判断问题，阶梯式要注意向量法的合理运用．