Question

已知函数f（x）=（n-x-xlnx）ln（x+m）（m，n为常数，且m＞0，n＞0），且y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-2xln2+2ln2．
（1）求m，n的值；
（2）证明：对任意x＞0，曲线g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的图象在第一象限．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求m，n的值；
（2）根据条件构造函数，证明g（x）=（1+e^-2）x-f（x）＞0即可．

解答： 解：（1）∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-2xln2+2ln2，
∴f（1）=-2ln2+2ln2=0，且f′（1）=-2ln2，
即f（1）=（n-1）ln（1+m），
∵m＞0，n＞0，
∴ln（1+m）＞0，则n-1=0，n=1，
则f（x）=（1-x-xlnx）ln（x+m），
函数的导数f′（x）=（-2-lnx）ln（x+m）+

1-x-xlnx

x+m

，
则f′（1）=-2ln（1+m）=-2ln2，
则1+m=2，解得m=1．
（2）∵m=1，n=1，
∴f（x）=（1-x-xlnx）ln（x+1），
则 g（x）=（1+e^-2）x-f（x）=（1+e^-2）x-（1-x-xlnx）ln（x+1），
若 曲线g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的图象在第一象限，
等价为 g（x）=（1+e^-2）x-f（x）=（1+e^-2）x-（1-x-xlnx）ln（x+1）＞0，
即（1+e^-2）x＞（1-x-xlnx）ln（x+1）成立，
令h（x）=1-x-xlnx，则h′（x）=-2-lnx，
由h′（x）=0，解得x=e^-2，
当x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，
故h（x）在x=e^-2，处取得极大值同时也是最大值．
则h（x）=）=1-x-xlnx≤h（e^-2）=1+e^-2，
再令m（x）=x-ln（x+1），则m′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，
则x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，故函数递增，而m（0）=0，
故当x＞0，m（x）＞m（0）=0，即x-ln（x+1）＞0，
故当x＞0时，x＞ln（x+1）＞0，
综上可知，（1+e^-2）x＞（1-x-xlnx）ln（x+1）成立，
故g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的图象在第一象限．

点评：本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义，以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度也比较大．