Question

已知下列四下命题：
①函数f（x）=2^x满足：对任意x1，x2∈R，有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
②函数f(x)=log2(x+

1+x2

)，g(x)=1+

2

2x-1

均是奇函数；
③函数f（x）=e^-2-e^x切线斜率的最大值是-2；
④函数f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x的在区间(

1

4

，

1

3

)上有零点．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，函数f（x）=2^x中，足：令x₁=0，x₂=2，可得f（

x1+x2

2

）=f（1）=2；

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（0）+f（2）]=

5

2

，可判断①；
②，利用奇偶函的概念可判断函数f(x)=log2(x+

1+x2

)，g(x)=1+

2

2x-1

均是奇函数从而可判断②；
③，利用导数的几何意义可求得函数f（x）=e^-2-e^x切线斜率，从而可判断③；
④，利用零点存在定理可判断函数f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x在区间（

1

4

，

1

3

）上无零点．

解答： 解：对于①，函数f（x）=2^x，令x₁=0，x₂=2，则

x1+x2

2

=1，显然f（

x1+x2

2

）=f（1）=2；

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（0）+f（2）]=

5

2

，f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，故①错误；
对于②，函数f(x)=log2(x+

1+x2

)的定义域为R，且f（-x）+f（x）=log2(-x+

1+(-x)2

)+log2(x+

1+x2

)=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），即f(x)=log2(x+

1+x2

)为奇函数；
同理可得，g（-x）+g（x）=0，即g(x)=1+

2

2x-1

是奇函数，故②正确；
对于③，函数f（x）=e^-2-e^x的导函数f′（x）=-e^x＜0，
函数f（x）=e^-2-e^x切线斜率无最大值，故③错误
对于④，函数f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x，f′（x）=

1

2 x

-(

1

4

)xln

1

4

=

1

2 x

+(

1

4

)xln4＞0，
所以，f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x为R上的增函数，
又f（

1

4

）=(

1

4

)

1

2

-(

1

4

)

1

4

＜0，f（

1

3

）=(

1

3

)

1

2

-(

1

4

)

1

3

=(

1

27

)

1

6

-(

1

16

)

1

2

＜0，
所以，f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x在区间（

1

4

，

1

3

）上无零点，故④错误．
故答案为：②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．