Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若直线x=

a2

c

上存在点P使得∠APF=30°，则刻双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  3+ 17

  2

  ]
• B、[

  3+ 17

  2

  ，+∞）
• C、（1，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线x=

a2

c

与x轴的交点为H，设P（

a2

c

，t）（t＞0），则tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA），运用两角差的正切公式化简整理，再由基本不等式得到a，c的不等式，再由离心率公式转化为e的不等式，解得即可．

解答： 解：设直线x=

a2

c

与x轴的交点为H，
设P（

a2

c

，t）（t＞0），
则tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=

tan∠HPF-tan∠HPA

1+tan∠HPF•tan∠HPA

=

c- a2 c t - a- a2 c t

1+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t2

=

c-a

t+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t

≤

c-a

2 (c- a2 c )(a- a2 c )

，
即有

4

3

≤

c2(c-a)2

(c2-a2)(ac-a2)

=

e2(e-1)2

(e2-1)(e-1)

，
即有3e²-4e-4≥0，
解得，e≥2．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．