Question

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F₁（0，-1），离心率为

3

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁作直线交椭圆于A，B两点，F₂是椭圆的另一个焦点，若S△ABF2=

8 3

9

时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，运用几何性质求解，a，b，c即可得出方程．
（2）化简方程得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，利用弦长公式求解得|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，根据S△ABF2=

8 3

9

，得出

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，求解k的值即可得到直线的方程．

解答： 解：（1）：设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，
∵一个焦点坐标是F₁（0，-1），离心率为

3

3

．
∴c=1，a=

3

∵a²=b²+c²
∴b=

2

∴

y2

3

+

x2

2

=1，
（2）∵F₁（0，-1），F₂是椭圆的另一个焦点（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直线AB的方程y=kx-1①，k存在时
①代入

y2

3

+

x2

2

=1化简得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

2k2+3

，x₁x₂=

-4

2k2+3

，
|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，
∵F₂到直线AB的距离为：

2

k2+1

S△ABF2=

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，
k²=3，即k=±

3

，
∴直线AB的方程y=±

3

x-1，
∵当率不存在时，AB=，x=0，不能构成三角形，∴不符合题意．
故直线AB的方程y=±

3

x-1，

点评：本题综合考查了椭圆的方程，几何性质，弦长公式，运算量大，是常规题型，属于难题．