Question

已知f（x）=x-sinx，{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…
证明：
（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n+1＜a_n；
（3）a_n+1＜

1

6

a_n³．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法,三角函数的求值

分析：（1）直接利用数学归纳法证明0＜a_n＜1；
（2）直接作差后结合0＜a_n＜1得答案；
（3）构造函数g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1，求导后得到函数为增函数，由函数为增函数得答案．

解答： 证明：（1）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n=1，2，3，…
（i）当n=1时，由已知显然结论成立；
（ii）假设当n=k时结论成立，即0＜a_k＜1，
∵0＜x＜1时，f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，
又f（x）在[0，1]上连续，
从而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故n=k+1时，结论成立；
由（i）、（ii）可知，0＜a_k＜1对一切正整数都成立；
（2）又∵0＜a_k＜1时，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，
∴a_n+1＜a_n；
（3）设函数g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1，
由（1）知，当0＜x＜1时，sinx＜x，
从而g′(x)=cosx-1+

x2

2

=-2sin2

x

2

+

x2

2

＞-2(

x

2

)2+

x2

2

=0，
∴g（x）在（0，1）上是增函数，
又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，
∴当0＜x＜1时，g（x）＞0成立，
于是g（a_n）＞0，即sinan-an+

1

6

an3＞0，
故an+1＜

1

6

an3．

点评：本题考查了归纳法证明数列不等式，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了三角函数的有界性，体现了数学转化思想方法，是压轴题．