Question

将函数f（x）=sin

3

4

x•sin

3

4

（x+2π）•sin

3

2

（x+3π）在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n=1，2，3…）．（1）则数列{a_n}的通项公式=

 

；（2）设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，则=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（1）首先对三角函数进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用导数求出极值点，根据数数之间的关系求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据已知的b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，进一步求出

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=-1
判断出数列成等比数列，进一步利用等比数列求出通项．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin

3

4

x•sin

3

4

（x+2π）•sin

3

2

（x+3π）=sin

3x

4

sin(

3x

4

+

3π

2

)sin(

3x

2

+

9π

2

）
=-

1

2

sin

3x

2

cos

3x

2

=-

1

4

sin3x
f′(x)=-

3

4

cos3x
令f′(x)=-

3

4

cos3x=0
解得：函数f（x）的极值点为：x=

kπ

3

+

π

6

（k∈Z）
从而在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}是以

π

6

为首，

π

3

为公差的等差数列
所以：an=

π

6

+(n-1)

π

3

=

2n-1

6

π（n=1，2，3…）
（2）由a_n=

2n-1

6

π得知：对任意的正整数n，a_n都不是π的整数倍，
所以：sina_n≠0
设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=-1
又由于b1=sin

π

6

sin

π

2

sin

5π

6

=

1

4

{b_n}是以b₁为首-1为公比的等比数列
所以：bn=

(-1)n-1

4

（n=1，2，3，…）
故答案为：（1）an=

2n-1

6

π(n=1，2，3，…）
（2）bn=

(-1)n-1

4

（n=1，2，3…）

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换，导数在极值中的应用，等差数列的应用，等比数列的应用．