Question

设函数f（x）=1-e^-x，函数g（x）=

x

ax+1

（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；
（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=1-e^-x，知f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，h′（x）=（1-x）•e^-x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．
（Ⅱ）由题1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1-e^-x∈[0，1），知

x

ax+1

≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-e^-x，∴f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，
函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，
∴h′（x）=（1-x）•e^-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

1

e

．
（Ⅱ）由题1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴

x

ax+1

≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-

1

x

恒成立，则a≥0．
不等式1-e^-x≤

x

ax+1

恒成立等价于（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，
令μ（x）=（ax+1）（1-e^-x），则μ′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
又令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
则v′（x）=e^-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e^-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′（x）=-a•e^-x（x-

2a-1

a

）．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞

1

2

时，若0＜x＜

2a-1

a

时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，

2a-1

a

）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，

2a-1

a

）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，

1

2

]．

点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．