Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2ⁿa_n（n∈N^*）．
（1）求证：

a1

2

，a₂，a₃成等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和递推公式求出a₂、a₃，根据等比数列的定义进证明；
（2）由a_n+1=2ⁿa_n得

an+1

an

=2n，利用指数的运算律、累积法求出{a_n}的通项公式．

解答： 证明：（1）由题意得，a₁=2，a_n+1=2ⁿa_n，
所以a₂=2a₁=4，a₃=4a₂=16，
则

a3

a2

=4，又

a1

2

=1，则

a2

a1 2

=4，即

a2

a1 2

=

a3

a2

，
所以

a1

2

，a₂，a₃成等比数列；
解：（2）由a_n+1=2ⁿa_n得，

an+1

an

=2n，
则

a2

a1

=21，

a3

a2

=22，…，

an

an-1

=2n-1，
以上（n-1）个式子相乘得，

an

a1

=2•22…2n-1=2

(n-1)(1+n-1)

2

=2

(n-1)n

2

，
所以a_n=a₁•2

(n-1)n

2

=2•2

(n-1)n

2

=2

n2-n+2

2

，
故{a_n}的通项公式是：2

n2-n+2

2

．

点评：本题考查数列的递推公式，等比数列的定义，指数的运算律，以及累积法求数列的通项公式，属于中档题．