题目内容
从⊙C：x2+y2-6x-8y+24=0外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）
（1）|PT|的最小值为多少？
（2）|PT|取得最小值时点P的坐标为？
（1）|PT|的最小值为多少？
（2）|PT|取得最小值时点P的坐标为？
考点：直线和圆的方程的应用
专题：直线与圆
分析：（1）如图所示，⊙C：x2+y2-6x-8y+24=0化为（x-3）2+（y-4）2=1，圆心C（3，4），半径r=1．设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．由切线的性质可得：CT⊥PT，利用|PT|=
及其|PT|=|PO|，
可得3x+4y-12=0．因此|PT|2=x2+y2=x2+(
)2=
(x-
)2+
，再利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由（1）可得：当x=
＜2，y=
时，|PT|取得最小值．即可得出．
| |PC|2-r2 |
可得3x+4y-12=0．因此|PT|2=x2+y2=x2+(
| 12-3x |
| 4 |
| 25 |
| 16 |
| 36 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
（2）由（1）可得：当x=
| 36 |
| 25 |
12-3×
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）如图所示，
⊙C：x2+y2-6x-8y+24=0化为（x-3）2+（y-4）2=1，
圆心C（3，4），半径r=1．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CT⊥PT，
∴|PT|=
=
．
∵|PT|=|PO|，
∴
=
．
化为3x+4y-12=0．
∴|PT|2=x2+y2=x2+(
)2
=
(x-
)2+
，
当x=
＜2时，|PT|2取得最小值
，即|PT|取得最小值
．
（2）由（1）可得：当x=
＜2，y=
=
时，|PT|取得最小值．
∴P(
，
)．
⊙C：x2+y2-6x-8y+24=0化为（x-3）2+（y-4）2=1，
圆心C（3，4），半径r=1．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CT⊥PT，
∴|PT|=
| |PC|2-r2 |
| (x-3)2+(y-4)2-1 |
∵|PT|=|PO|，
∴
| x2+y2 |
| (x-3)2+(y-4)2-1 |
化为3x+4y-12=0．
∴|PT|2=x2+y2=x2+(
| 12-3x |
| 4 |
=
| 25 |
| 16 |
| 36 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
当x=
| 36 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
| 12 |
| 5 |
（2）由（1）可得：当x=
| 36 |
| 25 |
12-3×
| ||
| 4 |
| 48 |
| 25 |
∴P(
| 36 |
| 25 |
| 48 |
| 25 |
点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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