Question

已知双曲线

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其中一条渐近线方程为y=x，点P（x₀，y₀）在双曲线，求

PF1

•

PF2

的范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线方程写出渐近线，由已知可得b，再由数量积的坐标公式，结合点P在双曲线上，得到所求数量积为2x₀²-6，再由双曲线的范围，即可得到范围．

解答： 解：双曲线

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的渐近线方程为：y=±

b

2

x，
由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=

2

，
即有双曲线方程为：x²-y²=2．
即有左、右焦点分别是F₁（-2，0），F₂（2，0），
则

PF1

•

PF2

=（-2-x₀，-y₀）•（2-x₀，-y₀）=x₀²+y₀²-4
又点P（x₀，y₀）在双曲线上，即有x₀²-y₀²=2，
即y₀²=x₀²-2，
即有

PF1

•

PF2

=2x₀²-6，
由双曲线的性质，可得x₀²≥2，
则有

PF1

•

PF2

≥4-6=-2．
故所求范围是[-2，+∞）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．