Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，△PAD是边长为

2

的正三角形，E是PB的中点，F是CD上的点，AB=2DF=1．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若FC=2，求点C到平面EBF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PA中点M，连接MD，ME，证明四边形MEDF是平行四边形，可得EF∥MD，再证明MD⊥平面PAB，即可证明EF⊥平面PAB．
（Ⅱ）若FC=2，利用等体积求点C到平面EBF的距离．

解答： （Ⅰ）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，
∵E是PB的中点，
∴ME∥AB，ME=

1

2

AB，
∵AB=2DF，AB∥CD，
∴ME∥DF，ME=DF
∴四边形MEDF是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由题意，△EBF中，EF=

6

2

，EB=

3

2

，BF=

3

2

，
∴EF²+EB²=BF²，
∴S_△EBF=

1

2

×

6

2

×

3

2

=

3 2

8

，
设点C到平面EBF的距离为h，则
∵FC=2，AD=

2

，∴S_△BFC=

2

，
∵E到平面BFC的距离为

6

4

，
∴由等体积可得

1

3

×

2

×

6

4

=

1

3

×

3 2

8

h，
∴h=

2 6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．