Question

已知⊙O：x²+y²=4及点A（1，3），BC为⊙O的任意一条直径，则

AB

•

AC

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：分类讨论：当直径BC所在的直线斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，与圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积运算即可得出；当直径BC所在的直线斜率不存在时，取B（0，-2），C（0，2），利用数量积即可得出．

解答： 解：如图所示，
当直径BC所在的直线斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，
B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），不妨是x₁＜x₂．
则

AB

•

AC

=（x₁-1，y₁-3）•（x₂-1，y₂-3）
=（x₁-1）（x₂-1）+（kx₁-3）（kx₂-3）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9
=（1+k²）x₁x₂-（1+3k）（x₁+x₂）+10，（*）
联立

y=kx x2+y2=4

，化为（1+k²）x²-4=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

4

1+k2

．
代入（*）可得：

AB

•

AC

=

-4(1+k2)

1+k2

-0+10=6．
当直径BC所在的直线斜率不存在时，取B（0，-2），C（0，2）．
则

AB

•

AC

=（-1，-5）•（-1，-1）=1+5=6．
综上可知：

AB

•

AC

=6．
故答案为：6．

点评：本题考查了数量积运算、直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．