题目内容
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．若AB=6，BC=4，则DE=考点：与圆有关的比例线段
专题：选作题,立体几何
分析：根据直线MN切⊙O于点C，由弦线角定理我们易得∠BCM=∠A，再由BE∥MN，我们可得∠BCM=∠EBC，我们可判断出△ABC∽△BEC，由相似三角形对应边成比例，代入AB=6，BC=4，可求出AE的长，再利用相交弦定理即可得出结论．
解答：
解：∵直线MN切⊙O于点C，
∴根据弦切角可知∠BCM=∠A，
∵BE∥MN，
∴∠BCM=∠EBC，
∵∠A=∠EBC，∠ACB是公共角，
∴根据三角对应相等得到△ABC∽△BEC，
∴
=
，BE=BC=4．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴EC=
，
∴AE=AC-EC=6-
=
．
∵BE•DE=AE•EC，
∴DE=
=
．
故答案为：
．
∴根据弦切角可知∠BCM=∠A，
∵BE∥MN，
∴∠BCM=∠EBC，
∵∠A=∠EBC，∠ACB是公共角，
∴根据三角对应相等得到△ABC∽△BEC，
∴
| AC |
| BC |
| BC |
| EC |
∵AB=AC=6，BC=4，
∴EC=
| 8 |
| 3 |
∴AE=AC-EC=6-
| 8 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
∵BE•DE=AE•EC，
∴DE=
| ||||
| 4 |
| 20 |
| 9 |
故答案为：
| 20 |
| 9 |
点评：本题考查弦切角定理，考查三角形相似的判定与性质，本题解题的关键是根据已知条件判断出△ABC∽△BEC，进而得到得到三角形对应边成比例，本题是一个中档题目．
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