Question

4．已知圆E：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，点F（$\sqrt{3}$，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；
（II）讨论直线l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系得出M点坐标，根据平行四边形对角线互相平分得出R点坐标，代入椭圆方程化简即可得出直线l的斜率k．

解答 解：（I））∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2$\sqrt{3}$＜4，
∴点Q的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则2a=4，c=$\sqrt{3}$，∴a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
所以点E的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（II）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，即M是AB的中点，
∴x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，y_M=kx_M+m=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，
∴R（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$），
代入椭圆方程得：$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=1，即16k²m²+4m²=16k⁴+8k²+1，
又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1-k，
∴16k²（1-k）²+4（1-k）²=16k⁴+8k²+1，
∴32k³-12k²+8k-3=0，即（4k²+1）（8k-3）=0．
∴k=$\frac{3}{8}$，m=$\frac{5}{8}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{3}{8}$x+$\frac{5}{8}$时，四边形OARB是平行四边形，
综上，直线l的方程为x=1或y=$\frac{3}{8}$x+$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题．