Question

12．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点$M（{\frac{3}{5}，\frac{6}{5}}）$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线m与圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，若|PN|²+|QN|²=24，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的标准方程为（x-a）²+y²=r²，根据切线的性质列方程组求出a，r即可得出圆C的标准方程；
（2）设直线m的方程y=kx，代入圆的方程化简，利用根与系数的关系得出P，Q的坐标关系，利用距离公式和|PN|²+|QN|²=24列方程解出k．

解答 解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+y²=r²，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|4a-6|}{5}=r}\\{\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得a=-1，r=2，
∴圆C的标准方程为：（x+1）²+y²=4．
（2）设直线m的方程为y=kx，（k＞0），
代入圆C的方程得（x+1）²+k²x²-4=0，即（1+k²）x²+2x-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2}{1+{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$，
∴|PN|²=（x₁-2）²+（y₁-1）²=x₁²+y₁²-4x₁-2y₁+5=3-2x₁-4x₁-2y₁+5=-6x₁-2y₁+8，
|QN|²=（x₂-2）²+（y₂-1）²=x₂²+y₂²-4x₂-2y₂+5=3-2x₂-4x₂-2y₂+5=-6x₂-2y₂+8，
∴|PN|²+|QN|²=-6（x₁+x₂）-2（y₁+y₂）+16=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$+16=24，
解得k=1或k=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴直线m的方程为：y=x．

点评 本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．