Question

7．已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x-y）=4f（x）f（y）且f（1）=$\frac{1}{4}$，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 令y=1推导f（x）的关系及周期，再计算f（0），利用f（x）的周期性即可得出答案．

解答 解：令y=1得：f（x+1）+f（x-1）=f（x），∴f（x+2）+f（x）=f（x+1），
∴f（x-1）=-f（x+2），即f（x-1）+f（x+2）=0，
∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x-3）+f（x）=0，
∴f（x-3）=f（x+3），∴f（x）的周期为6，
且f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=[f（0）+f（3）]+[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1），
令x=1，y=0得2f（1）=f（0），∴f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴f（0）+f（1）=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了函数周期性的应用，转化思想，化简、变形能力，属于中档题．