题目内容
16．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，则下列判断正确的是①③④⑤（把你认为正确的序号都填上） ①线段MN有最小值，且最小值为1
②不论M，N如何运动，线段MN和B1D都不可能垂直
③存在一个位置，使得MN所在的直线与四个侧面都平行
④$|{MN}|=\sqrt{2}$的情况只有四种
⑤若M，N，B，C四点能构成三棱锥，其体积只与点N的位置有关，与M无关．
分析 当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，由异面直线的距离，即可判断①；
当M与C1重合，N与B重合，由三垂线定理，即可判断②；
当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平行的判定定理，即可判断③；
考虑面对角线，BC1，A1D，A1B，C1D四种，即可判断④；
由于M在A1C1上，A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，由棱锥的体积公式即可判断⑤．
解答 
解：对于①，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN⊥BD，MN⊥A1C1，即MN为
异面直线A1C1和BD的公垂线段，即有线段MN有最小值，且最小值为1，故①对；
对于②，当M与C1重合，N与B重合，连接BC1，B1C，
由BC1⊥B1C，CD⊥平面BCC1B1，由三垂线定理可得
B1D⊥BC1，故②错；
对于③，存在一个位置，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平行的判定定理，
可得使MN所在的直线与四个侧面都平行，故③对；
对于④，$|{MN}|=\sqrt{2}$的情况只能是面对角线，BC1，A1D，A1B，C1D四种，故④对；
对于⑤，M，N，B，C四点能构成三棱锥，由于M在A1C1上，
A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，
则三棱锥的体积只与点N的位置有关，与M无关，故⑤对．
故答案为：①③④⑤．
点评 本题考查空间线线、线面的位置关系和距离及体积的求法，考查运算和推理能力，以及转化思想、数形结合的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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6．
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