Question

9．已知函数f（x）=e^x（2x-1）-a（x-1）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）
• D． （0，1）∪（4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 判断y=e^x（2x-1）的单调性，作出y=e^x（2x-1）与y=a（x-1）的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出a的范围．

解答 解：令f（x）=0得e^x（2x-1）=a（x-1），
令g（x）=e^x（2x-1），则g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当x＞-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
作出g（x）与y=a（x-1）的函数图象如图所示：

设直线y=a（x-1）与g（x）的图象相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a（{x}_{0}-1）}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}-1）}\\{a={e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}+1）}\end{array}\right.$，解得x₀=0，y₀=-1，a=1，或x₀=$\frac{3}{2}$，y₀=2e${\;}^{\frac{3}{2}}$，a=4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，
∵f（x）有两个不同的零点，
∴g（x）与y=a（x-1）的函数图象有两个交点，
∴0＜a＜1或a＞4e${\;}^{\frac{3}{2}}$．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．