Question

已知双曲线 E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15）求双曲线E的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有：

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

两式作差得：

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

x1+x2

y1+y2

═

-12b2

-15a2

=

4b2

5a2

求解即可．

解答： 解：设 双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由题意知c=3，a²+b²=9，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有：

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

两式作差得：

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

x1+x2

y1+y2

=

-12b2

-15a2

=

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

=1，
所以将4b²=5a²代入a²+b²=9得
a²=4，b²=5．
所以双曲线的标准方程是

x2

4

-

y2

5

=1．

点评：本题综合考查了双曲线的方程，几何意义，属于中档题．