Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c，方程f′（x）=0两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，则

b-2

a-1

的取值范围为（　　）

• A、（

  1

  4

  ，1）
• B、（-∞，

  1

  4

  ）∪（1，∞）
• C、（-1，-

  1

  4

  ）
• D、（

  1

  4

  ，2）

Answer 1

考点：直线的斜率,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，由f′（x）=0两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内列关于a，b的不等式组，然后利用线性规划求解．

解答： 解：∵f（x）=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵方程f′（x）=0两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，
则

f(0)=2b＞0 f(1)=a+2b+1＜0 f(2)=2a+2b+4＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出可行域如图，

b-2

a-1

的几何意义为可行域内的动点与定点M（1，2）连线的斜率，
kMA=1，kMC=

1

4

，
∴

b-2

a-1

的取值范围为(

1

4

，1)．
故选：A．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了简单的线性规划问题，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．