Question

下列4个命题中，p是q的充要条件的个数是（　　）
①p：A∪B=A，q：∁_UA⊆∁_UB；
②p：y=f（x-1）为奇函数，q：y=f（x）关于点（1，0）对称；
③p：?x∈R⁺，满足方程ax-2=0，q：?b∈R，函数f（x）=ax³-3ax+b在（-1，1）上递减；
④p：

2＜x+y＜4 0＜xy＜3

，q：

0＜x＜1 2＜y＜3

．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据并集、补集、子集的概念，奇函数图象特点，一元一次方程解的情况，以及函数单调性和函数导数符号的关系，取特殊值的方法，以及充要条件的概念即可求出p是q的充要条件的个数．

解答： 解：①若A∪B=A，则B⊆A；
∴∁_UA⊆∁_UB；
而若∁_UA⊆∁_UB，则∁_U（∁_UB）⊆∁_U（∁_UA）；
∴B⊆A；
∴A∪B=A；
∴p是q的充要条件；
②令x-1=t，即可得到函数f（x）；
因为f（x-1）为奇函数，∴关于原点（0，0）对称；
而x=0时，t=-1；
∴f（x）关于（-1，0）对称；
∴p不是q的充要条件；
③由p知?x∈R⁺，满足方程x=

2

a

；
∴a＞0；
若a＞0，对于x∈（-1，1），f′（x）=3a（x²-1）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上递减；
而若f（x）在（-1，1）上递减，则f′（x）＜0；
∴a＞0；
所以p是q的充要条件；
④对于p，取x=2，y=1，便得不到q；
∴p不是q的充要条件；
∴p是q的充要条件的个数是2．
故选B．

点评：考查并集、补集、子集的概念，奇函数图象的特点，f（x-1）和f（x）图象的关系，函数的单调性和函数导数符号的关系，以及特殊值法解决问题，充要条件的概念．