Question

某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=

1

3

x²+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+

10000

x

-1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得x千件销售额0.05×1000x=50x万元，从而写出0＜x＜80和x≥80时的函数关系式，进而用分段函数表示出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）由题意分别求0＜x＜80和x≥80时函数的最大值，从而确定年产量为多少千件时该厂的利润最大．

解答： 解：（Ⅰ）当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05×1000x=50x（万元）
当0＜x＜80时，L（x）=50x-（

1

3

x²+10x）-250=-

1

3

x²+40x-250；
当x≥80时，L（x）=50x-（51x+

10000

x

-1450）-250=1200-（x+

10000

x

）；
故L（x）=

- 1 3 x2+40x-250，0＜x＜80 1200-(x+ 10000 x )，x≥80

；
（Ⅱ）当0＜x＜80时，L（x）=-

1

3

x²+40x-250；
当x=60时，L（x）有最大值为950；
当x≥80时，L（x）=1200-（x+

10000

x

）；
当且仅当x=

10000

x

，即x=100时，
L（x）有最大值为1000；
∴年产量为100千件时该厂的利润最大．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．