题目内容
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E为BC中点，求证：AE⊥PD．考点：向量在几何中的应用,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离
分析：由已知条件，设
=
，
=
，
=
，利用向量法进行证明．
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AP |
| c |
解答：
证：设
=
，
=
，
=
，
∵PA⊥平面ABCD，
∴
•
=0，
•
=0，
∵∠ABC=60°，四边形ABCD为菱形，
∴
•
=|
|•|
|•cos∠BAD=|
|2•cos120°
=-
|
|2．
=
+
=
+
，
=
+
+
+
=-
+
+
-
=
-
，
•
=（
+
）•（
-
）
=
•
+
|
|2-
•
-
•
=-
|
|2+
|
|2=0，
∴
⊥
，
∴AE⊥PD．
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AP |
| c |
∵PA⊥平面ABCD，
∴
| a |
| c |
| b |
| c |
∵∠ABC=60°，四边形ABCD为菱形，
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
=-
| 1 |
| 2 |
| b |
| AE |
| AB |
| BE |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| PD |
| PA |
| AB |
| BC |
| CD |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| AE |
| PD |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| b |
| c |
=
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a |
| c |
| 1 |
| 2 |
| b |
| c |
=-
| 1 |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| b |
∴
| AE |
| PD |
∴AE⊥PD．
点评：本题考查空间直线的位置关系，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．
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