Question

已知{a_n}为公差不为零的等差数列，首项a₁=a，{a_n}的部分项ak1、ak2、…、akn恰为等比数列，且k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a表示）；
（2）若数列{k_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），由a₁=a，a₂=a+d，a₅=a+4d成等比数列可得方程，解出后注意检验，用等差数列通项公式可求；
（2）由等差数列通项公式可表示出akn=(2kn-1)a1，再由等比数列通项公式表示出akn=a1•3n-1，由其相等可得k_n，然后利用分组求和可得结论；

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），
由已知得a₁=a，a₂=a+d，a₅=a+4d成等比数列，
∴（a+d）²=a（a+4d），解得a=0或d=2a，
若a=0，则{a_n}为0，d，2d，3d，4d，…，这与a₁，a₂，a₅成等比数列矛盾，
∴d=2a，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（2n-1）a．
（2）由（1）可知a_n=（2n-1）a，
∴akn=(2kn-1)a1，
而等比数列{akn}的公比q=

a2

a1

=

a1+d

a1

=3．
∴akn=a1•3n-1，
因此akn=(2kn-1)a1=a1•3n-1，
∴kn=

3n-1+1

2

=

1

2

•3n-1+

1

2

，
∴Sn=(

1

2

×30+

1

2

×31+…+

1

2

×3n-1)+

1

2

×n=

1

2

•

1(1-3n)

1-3

+

n

2

=

3n+2n-1

4

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查学生分析解决问题的能力，熟记两类特殊数列的通项公式及求和公式是解决问题的关键．